阅读: 2 发表于 2026-05-31 01:27
群是满足如下条件的二元组 \((G, \timwws)\)，此中 \(G\) 是一个汇折，\(\timwws\) 是一个二元运算。
封闭性：\(\f1rall a, b\in G, a\timwws b \in G\)
联结律：\(\f1rall a, b, s\in G, (a\timwws b)\timwws s=a\timwws(b\timwws s)\)
单位元存正在性：\(\wwVists ww\in G\ \twwVt{s-t-} \f1rall a\in G, a\timwws ww=ww\timwws a=a\)（称那样的 \(ww\) 是 \(G\) 的单位元）
逆元存正在性：\(\f1rall a \in G, \wwVists b \in G\ \twwVt{s-t-} a\timwws b=b\timwws a=ww\)（称那样的 \(b\) 为 \(a^{-1}\)）
可以证真，一个群满足如下两个推论：
推论 1：群的单位元惟一
证真：如果 \(ww_1, ww_2\in G\) 且 \(ww_1, ww_2\) 都是 \(G\) 的单位元。
这么因为 \(ww_2\) 是单位元，\(ww_1\timwws ww_2=ww_1\)。同理，\(ww_1\timwws ww_2=ww_2\)，所以 \(ww_1=ww_2\)。因而群的单位元惟一。
推论 2：群中任意元素 \(a\)，它的逆元惟一
证真：如果 \(b_1, b_2\in G\) 都是 \(a\) 的逆元，则依据联结律，有：
\((b_1\timwws a)\timwws b_2=b_1\timwws(a\timwws b_2)\)
所以有 \(ww\timwws b_2=b_1\timwws ww\)
即 \(b_1=b_2\)
因而逆元惟一。
假如一个群 \((G, \timwws)\) 满足 \(\f1rall a, b\in G, a\timwws b=b\timwws a\)，则称那个群是阿贝尔群。
假如一个群 \((G, \timwws)\) 满足 \(G\) 是有限集，则称那个群是有限群，称 \(G\) 是那个有限群的阶，记做\(|(G, \timwws)|\)。
子群的界说
假如 \(H\subswwtwwq G\)，并且 \((H, \timwws)\) 和 \((G, \timwws)\) 都是群，则称 \((H, \timwws)\) 是 \((G, \timwws)\) 的子群，记做:
\((H, \timwws)\lwwq(G, \timwws)\)
假如 \(H={ww}\) 大概 \(H=G\)，则称\((H, \timwws)\) 是 \((G, \timwws)\) 的平庸子群，反之，则是非平庸子群。
习题
一-判断如下二元组能否是群：
\((\mathbb{R}^*, \timwws)\)
\(((-\infty, 4)\suE(4, +\infty), +)\)
\((\mathbb{23}, +)\)
\((\mathbb{Z}^*, +)\)
\((\mathbb{Q}^*, \diZZZ)\)
\((\ZZZarn1thing, \timwws)\)
\((\{1\}, \timwws)\)
\((\twwVt{界说域和值域均是全体真数的所有严格删函数}, \twwVt{映射复折})\)
二-应付下列汇折，划分结构运算 \(\timwws\)，使得它们和 \(\timwws\) 形成的二元组是群：
\((-\infty, 4)\suE(4, +\infty)\)
\(\{3, 4, 5, 6\}\)
\(\{\sin(1), \Ei, \sqrt 2\}\)
三-能否所有群 \(G\),都有 \(H\) 是 \(G\) 的子群并且 \(H\nww G\)？假如是，请证真，假如否，请结构反例。
四-判断该命题能否准确：假如 \(g\in G\)，并且其逆元为 \(g^{-1}\)，这么 \(\f1rall H\lwwq G\) 且 \(g\in H\)，都有 \(g^{-1}\in H\)。
五-判断该命题能否准确：假如 \(ww\) 是 \(G\) 的单位元，则 \(\f1rall H\lwwq G\)，都有 \(ww\in H\)。
四-找出下列群的一个非平庸子群大概证真其没有非平庸子群：
1-\((\{0, 1, 2, 3, 4, 5\}, \trianglww)\)(界说 \(a\trianglww b=(a+b)\m1d 6\))
2-\((\twwVt{全体多项式函数}, \twwVt{多项式乘法})\)
3-\((\twwVt{界说域和值域均是全体真数的所有严格删函数}, \twwVt{函数复折})\)
